Moduli of objects in dg-categories

Abstract

The purpose of this work is to prove the existence of an algebraic moduli classifying objects in a given triangulated category. To any dg-category T (over some base ring k  ), we define a D⁻ $D^{-}$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> -stack MT ${\mathcal{M}}_T$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> in the sense of [Toën B., Vezzosi G., Homotopical algebraic geometry II: Geometric stacks and applications, Mem. Amer. Math. Soc  ., in press], classifying certain Top $T^{\mathrm{op}}$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> -dg-modules. When T   is saturated, MT ${\mathcal{M}}_T$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> classifies compact objects in the triangulated category [T] $[T]$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> associated to T. The main result of this work states that under certain finiteness conditions on T   (e.g. if it is saturated) the D⁻ $D^{-}$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> -stack MT ${\mathcal{M}}_T$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> is locally geometric (i.e. union of open and geometric sub-stacks). As a consequence we prove the algebraicity of the group of auto-equivalences of saturated dg-categories. We also obtain the existence of reasonable moduli for perfect complexes on a smooth and proper scheme, as well as complexes of representations of a finite quiver. L'objectif de ce travail est de démontrer l'existence d'un espace des modules algébrique classifiant les objets dans une catégorie triangulée donnée. Pour toute dg-catégorie T (au-dessus d'un anneau de base k  ), nous définissons un D⁻ $D^{-}$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> -champ MT ${\mathcal{M}}_T$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> dans le sens de [Toën B., Vezzosi G., Homotopical algebraic geometry II: Geometric stacks and applications, Mem. Amer. Math. Soc  ., in press], qui classifie certains Top $T^{\mathrm{op}}$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> -dg-modules. Quand T   est saturée, MT ${\mathcal{M}}_T$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> classifie les objets compacts dans la catégorie triangulée [T] $[T]$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> associée à T. Le résultat principal de ce travail énonce que, sous certaines conditions de finitude sur T (par exemple si T   est saturée), le D⁻ $D^{-}$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> -champ MT ${\mathcal{M}}_T$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> est localement géométrique (i.e. réunion de sous-champs ouverts géométriques). Comme conséquence, nous démontrons l'algébricité du groupe des auto-équivalences des dg-catégories saturées. Nous obtenons aussi l'existence d'un espace des modules raisonnable pour les complexes parfaits sur un schéma propre et lisse, ainsi que pour les complexes de représentations de carquois finis.