Moment inequalities for random variables in computational geometry
- 1 June 1983
- journal article
- Published by Springer Science and Business Media LLC in Computing
- Vol. 30 (2), 111-119
- https://doi.org/10.1007/bf02280782
Abstract
LetX 1,...,X n be independent identically distributedR d -valued random vectors, and letA n =A(X 1,...,X n ) be a subset of {X 1,...,X n }, invariant under permutations of the data, and possessing the inclusion property (X 1 ∈A n impliesX 1 ∈A i for alli≤n). For example, the convex hull, the collection of all maximal vectors, the set of isolated points and other structures satisfy these conditions. LetN n be the cardinality ofA n . We show that for allp≥1, there exists a universal constantC p >0 such thatE(N n p )≤C p max (1,E p ) where . This complements Jensen's lower bound for thep-th moment:E(N n p )≥E p (N n ). The inequality is applied to the expected time analysis of algorithms in computational geometry. We also give necessary and sufficient conditions onE(N n ) for linear expected time behaviour of divide-and-conquer methods for findingA n . X 1,...,X n seien unabhängige und gleichartig verteilte Zufallsvektoren imR d , ferner seiA n =A(X 1,...,X n ) eine Teilmenge von {X 1,...,X n }, die invariant ist gegenüber einer Permutation der Daten und die die Inklusionseigenschaft (X 1 ∈A n ⇒X 1 ∈A i füri≤n) besitzt. Beispielsweise erfüllen die konvexe Hülle, die Menge der Maximal-Vektoren, die Menge der isolierten Punkte und andere Strukturen diese Bedingungen. SeiN n die Kardinalzahl vonA n . Wir zeigen, daß es für jedesp≥1 eine universelle KonstanteC p gibt, so daßE(N n p )≤C p max (1,E p ) gilt, mit . Dies ist das Gegenstück zur unteren Schranke in Jensen für dasp-te Moment: E(Nn/p)≥Ep(Nn). Die Ungleichung wird zur Analyse der erwarteten Laufzeit von Algorithmen für geometrische Berechnungen verwendet. Ferner werden notwendige und hinreichende Bedingungen bezüglich (E(N n ) angegeben, damit ein lineares Laufzeitverhalten bei Divide-and-Conquer-Methoden zur Berechnung vonA n zu erwarten ist.Keywords
This publication has 14 references indexed in Scilit:
- Über Algorithmen mit mittlerem linearen Zeitbedarf zur Bestimmung der konvexen HülleComputing, 1981
- A note on finding convex hulls via maximal vectorsInformation Processing Letters, 1980
- Divide and conquer for linear expected timeInformation Processing Letters, 1978
- The minimum sphere covering a convex polyhedronNaval Research Logistics Quarterly, 1974
- On the identification of the convex hull of a finite set of points in the planeInformation Processing Letters, 1973
- The Minimum Covering Sphere ProblemManagement Science, 1972
- An efficient algorith for determining the convex hull of a finite planar setInformation Processing Letters, 1972
- Sur L'enveloppe convexe des nuages de points aleatoires dans Rn. IJournal of Applied Probability, 1970
- Die konvexe Hülle von n rotationssymmetrisch verteilten PunktenProbability Theory and Related Fields, 1970
- On the Distribution of the Number of Admissible Points in a Vector Random SampleTheory of Probability and Its Applications, 1966