Approximate Solution of Mixed Problem for Telegrapher Equation with Homogeneous Boundary Conditions of First Kind Using Special Functions
Open Access
- 9 April 2021
- journal article
- Published by Belarusian National Technical University in ENERGETIKA. Proceedings of CIS Higher Education Institutions and Power Engineering Associations
- Vol. 64 (2), 152-163
- https://doi.org/10.21122/1029-7448-2021-64-2-152-163
Abstract
Смешанная задача для хорошо известного в электротехнике и электронике телеграфного уравнения при условии, что линия свободна от искажений, сводится к аналогичной задаче для одномерного неоднородного волнового уравнения. Эффективный способ решения этой задачи основан на использовании специальных функций – полилогарифмов, которые представляют собой комплексные степенные ряды со степенными же коэффициентами, сходящиеся в единичном круге. Точное решение задачи выражается в интегральной форме через мнимую часть полилогарифма первого порядка на единичной окружности, а приближенное – в виде конечной суммы через действительную часть дилогарифма и мнимую часть полилогарифма третьего порядка. Все указанные части полилогарифмов являются периодическими функциями, имеющими полиномиальные выражения соответствующих степеней на отрезке длиной в период, что позволяет получить решение задачи в элементарных функциях. В работе исследуется смешанная задача для хорошо известного в приложениях телеграфного уравнения. Эта задача линейной подстановкой искомой функции с экспоненциальным по времени коэффициентом сводится к аналогичной задаче для уравнения Клейна – Гордона. Решение последней можно найти методом разделения переменных в виде ряда по тригонометрическим функциям точки линии с коэффициентами, зависящими от времени. Такое решение малопригодно для практического применения, так как для него требуется вычисление большого числа коэффициентов-интегралов и при этом трудно оценить погрешность вычислений. В настоящей статье предлагается другой способ решения этой задачи, основанный на использовании специальных He-функций, которые представляют собой комплексные степенные ряды определенного вида, сходящиеся в единичном круге. Точное решение задачи представляется в интегральной форме через He-функции второго порядка на единичной окружности. Приближенное решение выражается в конечном виде через He-функции третьего порядка. В работе также найдена простая и эффективная оценка погрешности приближенного решения задачи. Она линейна относительно шага разбиения линии с экспоненциальным по времени коэффициентом. Приведен пример решения задачи для уравнения Клейна – Гордона разработанным способом, построены графики точного и приближенного решенийKeywords
This publication has 2 references indexed in Scilit:
- Application of Polylogarithms to the Approximate Solution of the Inhomogeneous Telegraph Equation for the Distortionless LineENERGETIKA. Proceedings of CIS Higher Education Institutions and Power Engineering Associations, 2019
- APPROXIMATE SOLUTION OF ONE PROBLEM ON ELECTRICAL OSCILLATIONS IN WIRES WITH THE USE OF POLYLOGARITHMSENERGETIKA. Proceedings of CIS Higher Education Institutions and Power Engineering Associations, 2017