\abstract{ukrainian}{Нехай $\mathbb K$ -- алгебраїчно замкнене поле харатеристики нуль,$A = \mathbb K[x_1,\dots,x_n]$ -- кільце многочленів і$R = \mathbb K(x_1,\dots,x_n)$ -- поле раціональних функцій від $n$ змінних. Позначимо через $W_n = W_n(\mathbb K)$ алгебру Лі всіх$\mathbb K$-диференціювань на $A$(у випадку $\mathbb C$ це алгебра Лі всіх векторних полів на $ \mathbb C^n$ з поліноміальними коефіцієнтами). Для заданого $D \in W_n(\mathbb K)$ будова централізатора$C_{W_n (\mathbb K)}(D)$ залежить від поля констант$\Ker D = \{\phi \in R \ | \ D(\phi)=0\}$(тут ми природнім чином розширюємо кожне диференціювання $D$ на $A$ на поле $R$).Досліджено випадок, коли $tr.\deg_{\mathbb K} \Ker D \le 1$, охарактеризована будова підалгебри $C_{W_n(\mathbb K)}(D)$, зокрема доведено, що якщо $\Ker D$ не містить несталих многочленів, то$C_{W_n(\mathbb K)}(D)$ скінченновимірний над $\mathbb K$. Отримано деякі результати про централізатори лінійних диференціювань в $W_n(\mathbb K).$}

We study the relationship between structural properties of the two-dimensional nonconjugate subalgebras of the same rank of the Lie algebra of the Poincaré group P(1,4) and the properties of reduced equations for the (1+3)-dimensional homogeneous Monge-Ampère equation. In this paper, we present some of the results obtained concerning symmetry reduction of the equation under investigation to identities. Some classes of the invariant solutions (with arbitrary smooth functions) are presented.

The Koebe One Quarter Theorem states that the range of any Schlicht function contains the centered disc of radius 1/4 which is sharp due to the value of the Koebe function at −1. A natural question is finding polynomials that set the sharpness of the Koebe Quarter Theorem for polynomials. In particular, it was asked in [7] whether Suffridge polynomials [15] are optimal. For polynomials of degree 1 and 2 that is obviously true. It was demonstrated in [10] that Suffridge polynomials of degree 3 are not optimal and a promising alternative family of polynomials was introduced. These very polynomials were actually discovered earlier independently by M. Brandt [3] and D. Dimitrov [9]. In the current article we reintroduce these polynomials in a natural way and make a far-reaching conjecture that we verify for polynomials up to degree 6 and with computer aided proof up to degree 52. We then discuss the ensuing estimates for the value of the Koebe radius for polynomials of a specific degree.

Нехай некомпактний двовимірний многовид Z отримано з сім'ї відкритих смуг R×(0,1), що мають на межі відкриті інтервали, за допомогою склеювання цих смуг уздовж деяких пар їх межових інтервалів. Кожна така смуга має природне шарування, листами якого є паралельні прямі R×t, t∊(0,1), а також межові інтервали. Ці шарування породжують однозначно визначене шарування Δ на Z. Позначимо через H(Z,Δ) групу гомеоморфізмів Z, які відображають листи шарування Δ на листи, а через H(Z/Δ) -- групу гомеоморфізмів простору листів. Наділимо ці групи компактно-відкритими топологіями. Нещодавно автори ідентифікували групу гомеотопій π₀H(Z,Δ) з групою автоморфізмів певного графу G з додатковою структурою, яка кодує комбінаторику склеювання Z зі смуг. Вказаний граф є в деякому сенсі дуальним до простору листів Z/Δ. З іншого боку, для кожного h∊H(Z,Δ) індукована перестановка k листів Δ є гомеоморфізмом Z/Δ, а відповідність h→k є гомоморфізмом ψ:H(Δ)→H(Z/Δ). У даній роботі показано, що ψ індукує гомоморфізм відповідних груп гомеотопій ψ₀:π₀H(Z,Δ)→π₀H(Z/Δ), причому він або ін'єктивний, або його ядро ізоморфне Z₂. Це дає дуальне описання π₀H(Z,Δ) у термінах простору листів.

The following result of G. Pisier contributed to the appearance of this paper: if a convolution operator ★f : M(G) → C(G), where $G$ is a compact Abelian group, can be factored through a Hilbert space, then f has the absolutely summable set of Fourier coefficients. We give some generalizations of the Pisier's result to the cases of factorizations of operators through the operators from the Lorentz-Schatten classes Sp,q in Hilbert spaces both in scalar and in vector-valued cases. Some applications are given.

A homological criterium from [Golasiński, M., On homotopy nilpotency of loop spaces of Moore spaces, Canad. Math. Bull. (2021), 1–12] is applied to investigate the homotopy nilpotency of some suspended spaces. We investigate the homotopy nilpotency of the wedge sum and smash products of Moore spaces M (A, n) with n ≥ 1. The homotopy nilpotency of homological spheres are studied as well.

The paper treats pseudo-Riemannian spaces permitting generalized φ(Ric)-vector fields. We study conditions for the existence of such vector fields in conformally flat, equidistant, reducible and Kählerian pseudo-Riemannian spaces. The obtained results can be applied for the construction of generalized φ(Ric)-vector fields that differ from φ(Ric)-vector fields. The research is carried out locally without limitations imposed on a sign of metric tensor.

В роботі досліджуються два псевдоріманових простори, які мають спільні геодезичні лінії. Вимагається виконання умов алгебраїчного та диференціального характеру на тензор Рімана одного з них. А операція опускання індексів та обчислення коваріантної похідної здійснюється відносно метрики та об'єктів зв'язності іншого простору. Для досліджень використовується спеціальний допоміжний тензор. Доведено, що виконання додаткових умов приводить до просторів, що не допускають нетривіальних геодезичних відображень, або простори належать до еквідістантних просторів. Використовуються тензорні методи без обмежень на знак метрики.

Applying geometric methods of 2-dimensional cell complex theory, we construct a Galois covering of a bimodule problem satisfying some structure, triangularity and finiteness conditions in order to describe the objects of finite representation type. Each admitted bimodule problem A is endowed with a quasi multiplicative basis. The main result shows that for a problem from the considered class having some finiteness restrictions and the schurian universal covering A', either A is schurian, or its basic bigraph contains a dotted loop, or it has a standard minimal non-schurian bimodule subproblem.

The present paper studies the main type of conformal reducible conformally flat spaces. We prove that these spaces are subprojective spaces of Kagan, while Riemann tensor is defined by a vector defining the conformal mapping. This allows to carry out the complete classification of these spaces. The obtained results can be effectively applied in further research in mechanics, geometry, and general theory of relativity. Under certain conditions the obtained equations describe the state of an ideal fluid and represent quasi-Einstein spaces. Research is carried out locally in tensor shape.