Features of the Algorithmic Implementation of Difference Analogues of the Logistic Equation with Delay

Abstract

Логистическое уравнение с запаздыванием или уравнение Хатчинсона представляет собой одно из фундаментальных уравнений популяционной динамики и находит широкое применение в задачах математической экологии. В работе рассматривается семейство отображений, построеннное для этого уравнения на основе центральных разделенных разностей. Такие разностные схемы обычно используются при численном моделировании данной задачи. Представленные отображения сами по себе могут служить моделями динамики популяций, поэтому их изучение представляет значительный интерес. В работе сопоставляются свойства траекторий данных отображений и исходного уравнения с запаздыванием. Показано, что поведение решений отображений, построенных на основе центральных разделенных разностей, не сохраняет, даже при достаточно малой величине шага по времени, основных динамических свойств логистического уравнения с запаздыванием. В частности, у этого отображения при колебательной потере устойчивости ненулевого состояния равновесия не бифурцирует устойчивая инвариантная кривая. Эта кривая соответствует в таких отображениях устойчивому предельному циклу исходного непрерывного уравнения. Тем самым показано, что такая разностная схема не может быть использована для численного моделирования логистического уравнения с запаздыванием.