О синтезе обратимых схем из элементов NOT, CNOT и 2-CNOTс малым числом дополнительных входов

Abstract

Рассматриваются обратимые схемы, состоящие из функциональных элементов NOT, CNOT и 2-CNOT и имеющие малое число дополнительных входов. Изучается функция Шеннонa сложности $L(n, q)$ такой схемы, реализующей отображение $f\colon \mathbb Z_2^n \to \mathbb Z_2^n$, при условии, что количество дополнительных входов $q = O(n^2)$. Доказывается соотношение $L(n,q) \asymp n2^n \mathop / \log_2 n$ для указанного диапазона значений $q$. Устанавливается порядок роста $L(n,q) \asymp n2^n \mathop / \log_2 (n+q)$ для всех значений $q \lesssim n2^{n-\lceil n \mathop / \phi(n)\rceil}$, где $\phi(n) \to \infty$ и $n \mathop / \phi(n) - \log_2 n \to \infty$ при $n \to \infty$.