Lý thuyết toán tử giả vi phân giải tích là một phần mở rộng của toán tử vi phân, là một công cụ mạnh để nghiên cứu ứng dụng của Giải tích Fourier vào phương trình đạo hàm riêng. Bài báo này nghiên cứu một vài ứng dụng sâu sắc của toán tử giả vi phân giải tích đã và đang được một số nhà toán học quan tâm. Không gian các hàm nguyên exponent type bé hơn R và đại số các toán tử giả vi phân giải tích trên không gian này được đưa vào ở Phần 2 của bài báo. Tiêu chuẩn để nhận biết một hàm thuộc không gian các hàm nguyên exponent type bé hơn R được phát biểu và chứng minh ở Mệnh đề 2.1. Ở Phần 3 của bài báo trình bày một ứng dụng của toán tử giả vi phân giải tích với ký hiệu là hàm sinh exponent của dãy số Bernoulli mở rộng để nghiên cứu nghiệm của phương trình sai phân (5) được đưa vào ở Phần 3. Toán tử tích chập là một toán tử giả vi phân giải tích được sử dụng một cách khéo léo vào bài toán biến đổi Laplace ngược trên không gian Hilbert tách được được đưa vào ở phần cuối của bài báo.